Решение
Найдите все целые значения `x` и `y`, при которых верно равенство: `y^2-1=3*2^x`Ответ: `(x;y) in {(0;+-2),(3;+-5),(4;+-7)}`Указание. При `x < 0` имеем `1 < y^2=3∙2^x+1 < 4`, откуда `1<|y|<2` и целых `y`, удовлетворяющих указанному условию, не существует. При `x = 0` имеем `y = +-2`.При `x > 0`имеем: правая часть уравнения четна и делится на 3, а `y` нечетно. Отсюда для определения `y` получаем соотношения `y=2n-1=3m-1` или `y=2n-1=3m+1`, `m,n in Z`. Из первого соотношения получаем `y=6k-1`, из второго – `y=6k+1`,` k ∈Z`. Таким образом, `y=6k±1`, `k ∈Z`. Подставляя это выражение в уравнение и сокращая на 3 получаем `k(3k+-1)=2^(x-2)`. В силу взаимной простоты чисел `k` и `3k+-1`, получаем, что одно из них по абсолютной величине равно 1, а второе - степень двойки. Если `3k-1=1` или `3k+1=-1`, то `k` не целое. Если `3k+1=1` или `3k-1=-1`, то `k=0` и, следовательно, `|y|=1`, что противоречит уравнению. Если `k=-1`, то `3k+-1` равно -2 или -4. Подставляя указанные значения в соотношение `k(3k±1)=2^(x-2)`, получаем, что `x=3` или `x=4`, и далее легко получаем пары (3; -5) и (4;-7). Если `k=1`, то `3k+-1`равно 2 или 4. Подставляя указанные значения в соотношение `k(3k±1)=2^(x-2)`, получаем, что `x=3` или `x=4`, и далее легко получаем пары (3; 5) и (4;7).