01_R3 Число N равно произведению 10 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число N? 

02_R2 Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P? 

03_R1 Число A равно произведению 12 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число A? 

04_P31 Натуральные числа a , b , c таковы, что НОК (a , b) = 126, НОК (a , c) = 168. Найдите НОК (b , c). 

05_P23 У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 104. Найдите это число. 

06_P24 У натурального числа ровно 9 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 741. Найдите это число. 

07_P25 У натурального числа ровно 9 натуральных делителей Сумма этих делителей равна 1281. Найдите это число. 

08_P26 натурального числа ровно 7 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 19531. Найдите это число 

09_P27 У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 1140. Найдите это число. 

10_P28 Найдите наименьшее трехзначное  натуральное число, квадрат которого при делении на 5 дает остаток 4. 

11_P10 Найдите все такие простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и . 

12_P11 Найдите все такие простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и . 

13_P13 Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь  можно сократить на b. 

14_P14 Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь  можно сократить на b. 

15_P15 Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь  можно сократить на b. 

16_P1 Найдите все целые значения x и  y , для которых верно равенство  . 

17_P2 Найдите все целые значения x и y , для которых верно равенство  . 

18_P3 Найдите все натуральные значения m , n , р , для которых выполняется условие . 

19_P4 Найдите все натуральные значения m , n , р , для которых выполняется условие . 

20_P12 Найдите все пары натуральных чисел k  и n таких, что  и . 

21_P16 Найдите все целые значения m и k такие, что . 

22_P19 Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки. 

23_P18 Решите в натуральных числах уравнение  .  

24_P22 Два двузначных числа, записанных одно за другим, образуют четырёхзначное число, которое делится на их произведение. Найти эти числа. 

25_P35 Найдите  все  пары  натуральных  чисел   a   и   b ,  удовлетворяющие равенству (в правой части стоит число, полученное дописыванием десятичной записи числа a после десятичной записи числа b ). 

26_P36 Найдите  все  пары  натуральных  чисел   a   и   b ,  удовлетворяющие равенству (в правой части стоит число, полученное дописыванием десятичной записи числа a после десятичной записи числа b ). 

27_D9 Найдите все пары натуральных чисел a и b, удовлетворяющие равенству (в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа a перед десятичной записью числа b). 

28_D12 Найдите все пары натуральных чисел a и b, удовлетворяющие равенству  (в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа a перед десятичной записью числа b). 

29_P20 Найдите все тройки натуральных чисел k , m и n , удовлетворяющие уравнению  . 

30_D20 Найдите все тройки натуральных чисел k , m и n, удовлетворяющие уравнению  

31_P21 Найдите все тройки натуральных чисел k , m и n , удовлетворяющие уравнению  . 

32_P32 Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n , удовлетворяющие уравнению . 

33_D37 Решите в натуральных числах уравнение . (Для натурального n символом n! обозначается произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n). 

34_D38 Решите в натуральных числах уравнение . (Для натурального n символом n! обозначается произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n). 

35_P29 Найдите все положительные значения а, при каждом из которых наименьшее из  двух чисел и больше −7. 

36_P5 Сумма шестнадцати чисел равна 0.5. Оказалось, что сумма каждых пятнадцати из этих шестнадцати чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел? 

37_P6 Сумма восьми чисел равна . Оказалось, что сумма каждых семи из этих восьми чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел? 

38_D3 Наибольшее целое число, не превосходящее число x , равно  . Найдите все такие действительные значения x. 

39_D6 Наибольшее целое число, не превосходящее  , равно . Найдите все такие действительные значения x. 

40_P17 Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и , найдите такую, знаменатель которой минимален. 

41_P33 Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой – различно натуральные числа, большие 210 и меньшие 350? 

42_P34 Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой – различно натуральные числа, большие 250 и меньшие 630? 

43_D19 Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 

44_P7 Перед каждым из чисел 10, 11, ... , 18 и 2, 3, ... , 12 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 99 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 

45_D1 Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 

46_D8 Перед каждым из чисел 5, 6, …, 10 и 12, 13, …, 16 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 

47_D49 Гидролог вводит в компьютер измерения температуры забортнойводы. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За время наблюдений температура наблюдалась выше 10°C но ниже 17°C. Всего гидролог ввел 32 измерения, но из-за усталости, качки судна и плохой клавиатуры один раз вместо десятичной запятой гидролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не нажал десятичную запятую.
После упорядочивания данных получился ряд из 32 чисел, начинающийся числами 12,2; 12,8...
Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 68,8. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 13,7. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил гидролог. 

48_D50 Метеоролог вводит в компьютер измерения температуры воздуха. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За все время наблюдений температура наблюдалась выше 20° но ниже 26°. Всего метеоролог ввел 22 измерения, но из-за усталости и плохой клавиатуры один раз вместо десятичной запятой метеоролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не нажал десятичную запятую.
После упорядочивания данных получился ряд из 22 чисел, начинающийся числами 21,3; 21,7...
Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 149,53. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 23,28. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил метеоролог. 

C6_D38 Решите в натуральных числах уравнение . (Для натурального n символом n! обозначается произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n).