01_P20 В треугольнике ABC сторона BC равна  6, высота BH равна   , а  сторона AB равна . Найдите площадь треугольника ABC.  

02_P21 В треугольнике ABC сторона BC равна 3, сторона  AC  равна 4, а угол BAC равен 45°  . Найдите площадь треугольника ABC. 

03_P25 В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена высота СН равная 6, отрезок АН равен 3. В треугольнике АНС проведена биссектриса НЕ, а в треугольнике СНВ проведена биссектриса угла Н - HD. Определите длину ED. 

04_P28 В прямоугольном треугольнике ABC угол С = 90° , АС = 6, СВ = 8. Из вершины прямого угла проведена высота СН. В треугольнике АНС проведена биссектриса угла С - CD. Найдите длину отрезка DH. 

05_D10 В треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. Известно, что , а площадь треугольника AMH равна 24. Найдите площадь треугольника ABC. 

06_D12 В треугольнике KLM проведены биссектриса KP и высота KH. Известно, что , а площадь треугольника KHP равна 30. Найдите площадь треугольника KLM. 

07_P13 На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника АBР, проведенную из вершины А, если известно, что сторона квадрата равна 1. 

08_P14 На стороне CD квадрата ABCD построен равнобедренный прямоугольный треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АBР, проведенную из вершины А, если известно, что сторона квадрата равна 1. 

09_P15 На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АDР, проведенную из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1. 

10_D35 Прямая, проведённая через середину N стороны квадрата ABCD , пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8. 

11_D36 Прямая, проведённая через середину N стороны квадрата ABCD , пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 0.5. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8. 

12_P33 Диагонали трапеции равны 13 и , а высота равна 5. Найдите площадь трапеции. 

13_P34 Диагонали трапеции равны 5 и , а высота равна 4. Найдите площадь трапеции. 

14_D37 Площадь трапеции ABCD равна 90, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN. 

15_D38 Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований тропеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN. 

16_P3 Па стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана точка Е, делящая эту сторону в отношении 2:3. Отрезок DE пересекает диагональ АС в точке F . Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD? 

17_P4 Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону ВС на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40. 

18_P29 В четырехугольнике ABCD длина стороны AB =12, синус угла ВАС равен 0.32, синус угла ABD равен 0.48. Сумма углов BAD и BCD равна 180°. Найдите длину стороны ВС. 

19_P30 К окружности провели две касательные МА и MB (А и В - точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9. 

20_P17 Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной. 

21_P19 Дан отрезок длины 20. Три окружности радиуса 4 имеют центры в концах этого отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных. 

22_P32 В окружности, радиус которой равен 10, проведена хорда АВ =12. Точка С лежит на хорде АВ так, что АС : BС =1:3. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С. 

23_P1 Найдите радиус окружности, вписанной в угол MKN, равный 2arcsin 0.6 и касающейся окружности радиуса 4, также вписанной в угол MKN. 

24_D9 Две окружности, касающиеся прямой в точках A и B , пересекаются в точках C и D, причем AB = 8, CD = 15. Найдите медиану CE треугольника ABC. 

25_D11 Две окружности, касающиеся прямой в точках A и B , пересекаются в точках C и D, причем AB = 12, CD = 5. Найдите медиану CE треугольника ABC. 

26_P24 В прямоугольном треугольнике ABC сумма катетов равна 14, а разность описанной и вписанной окружностей равна 3. Определите все стороны треугольника ABC. 

27_D50 Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 63, точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 20 : 9, считая от основания. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. 

28_P22 Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 32, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 15. Найти радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. 

29_R1 Радиус окружности, вписанной в треугольник FGH , площадь которого равна 210, в три раза меньше высоты, проведенной из вершины F . Известно, что  GH = 28. Найдите сторону FH.  

30_R2 Диаметр окружности, вписанной в треугольник PQR , площадь которого равна 132, в 3 раза меньше высоты, проведенной из вершины P. Известно, что  QR = 11. Найдите сторону PQ.  

31_R3 Окружность, вписанная в треугольник ABC , площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что  CB = 9. Найдите сторону AB.  

32_R4 Окружность, вписанная в треугольник KLM , площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ML. Известно, что  ML = 11. Найдите сторону MK.  

33_P7 Сторона равностороннего треугольника ABC равна 10. Точка D лежит на прямой BC так, что  BD : DC = 2 : 3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются прямой BC в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF. 

34_P18 В треугольнике АВС на стороне АВ = 9 взята точка D такая, что AD : DB = 1 : 8. Известно, что  ∠BAC = 60° . Какую длину может иметь сторона АС, если известно, что окружность, проходящая через точки B и D и касающаяся прямой АС, касается также прямой ВС. 

35_D1 В треугольнике ABC  AB = 10, BC = 5, CA = 6. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 2 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF. 

36_D4 В треугольнике ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка  D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 4. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF. 

37_D49 Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 24. Точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 5 : 8 , считая от основания. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. 

38_P23 В прямоугольном треугольнике ABC угол С = 60° , угол А = 60°. Из вершины прямого угла проведена медиана СМ. В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке О. Найдите угол между ОМ и ОВ. 

39_P26 В прямоугольном треугольнике ABC угол С = 90°, угол А = 60°. Из вершины прямого угла проведена медиана СМ . В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке О . Найдите угол между ОМ и СО 

40_P27 В прямоугольном треугольнике ABC угол С = 90° , АС = 6, СВ = 8. Из вершины прямого угла проведена медиана СМ. В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке О. Найдите площадь треугольника СОМ. 

41_P31 Около треугольника AВС описана окружность с центром О, угол AOC равен  100°. В треугольник ABC вписана окружность с центром М. Найдите угол AMC. 

42_P35 Угол между радиусом AO окружности, описанной около треугольника ABC и стороной AC равен 40° . Найдите угол A треугольника ABC , если угол C равен 30° . 

43_P36 Угол между радиусом AO окружности, описанной около треугольника ABC и стороной AC равен 45° . Найдите угол A треугольника ABC , если угол C равен 25° . 

44_D13 Две окружности, касающиеся прямой в точках A и B , пересекаются в точках C и D, причем AB = 8, CD = 15. Найдите медиану CE треугольника ABC. 

45_D19 Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой – точки A и B, причем треугольник ABC – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. 

46_D20 Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой – точки A и B, причем треугольник ABC – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. 

47_D45 Дан треугольник ABC со сторонами . На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD – точка O, причем CD = 4 и AO = 3⋅OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB. 

48_D46 Дан треугольник ABC со сторонами . На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD – точка O, причем CD = 7 и AO = 3⋅OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB. 

49_D47 Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина C, на другой - основание AB равнобедренного треугольника . Известно, что AB = 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC. 

50_D48 Расстояние между параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит вершина C, на другой — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 16. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC. 

51_P5 Дан квадрат ABCD со стороной 7 и окружность S с центром в точке А радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом окружности S, содержащейся внутри квадрата и касающейся двух его соседних сторон. 

52_P6 Дан квадрат ABCD со стороной 17 и окружность S с центром в точке А радиуса 8. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом окружности S, содержащейся внутри квадрата и касающейся двух его соседних сторон. 

53_P2 Трапеция ABCD с основаниями AD и ВС вписана окружность с центром в точке O.  Найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3, и sin ∠AOB = 0.6 

54_P12 В окружность радиуса вписана трапеция основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции. 

55_D2 Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S. 

56_D3 Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S. 

57_D17 Дан параллелограмм ABCD, . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD. 

58_D18 Дан параллелограмм ABCD, . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD. 

59_P10 Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M . Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD равны соответственно r и R. 

60_P11 Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P . Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что ∠KPN  = φ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LPM равны соответственно r и R. 

61_P16 Четырёхугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке  М . Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB = a и CD = b .